1. Теоретическое решение задачи устойчивости

Рис. 41. Расчет­ная схема вне- центренно-сжа — того стержня

Наряду с центральным сжатием, рассмотренным в главе II, известны и другие виды статической работы сжатых стержней: внецентренное сжатие и сжатие с из­гибом. Для расчетной практики важно рассмотреть внецентренное сжатие. В СНиП сжато-изогнутые стерж-

Кгс/сш2

Рис. 42. Идеализированная диаграмма для ядра и оболоч­ки трубобетонного стержня

Ни с произвольной эпюрой изгибающих моментов по длине стержня заменяются эквивалентными внецент — ренно-сжатыми. Последние рассчитываются по эксцент­рицитету а—Ммакс1Р, где. Ммакс — максимальный изги­бающий момент, Р — продольная сила. В конструкциях, состоящих из отдельных стержней и их соединений, влияние эксцентрицитета осевой нагрузки, изгибающих моментов, вызванных жесткостью узлов конструкции, и начальной погиби стержней можно учесть одним при­веденным значением эксцентрицитета сжимающих сил, приложенных к концевым сечениям стержня. При этом,

Рис. 44. Расчетные схемы продольных напряжений и деформаций

В поперечном сечении трубобетонного стержня а — полное сжатие всей площадки; б — двусторонняя текучесть в стальной оболочке; в — односторонняя текучесть в стальной оболочке

Как известно, получаются довольно точные результаты для стержней средних и больших гибкостей и значения с запасом для стержней малых гибкостей.

Для определения устойчивости исследуется несущая способность внецентренно-сжатого трубобетонного стержня при кратковременном загружении. Эксцентри­цитеты приложения сжимающих сил равны по величи­не и имеют одинаковое направление от центра тяжести сечения (рис. 41).

Будем считать, что сталь и бетон удовлетворяют идеализированной упругопластической диаграмме Прандтля (рис. 42). Основой для идеализации диаграм­мы а—е для бетона в трубе является равенство площа­дей криволинейной и трапецеидальной эпюр. Криволи­нейная эпюра получается из экспериментов по осевому сжатию, в частности из [71] (рис. 43).

Рис. 43. Диаграмма зависи­мости «нормальные напря­жения •— относительные уко­рочения» для бетонного яд­ра трубобетонного стержня

Изогнутую ось стержня представляем полуволной

Косинусоиды с длиной полуволны, равной длине стерж­ня L. Эта предпосылка позволяет получить решение, результаты которого для стальных стержней незначи­тельно отличаются от результатов более точного реше­ния [52, 131]: при двусторонней текучести по всей дли­не стержня критическая сила завышена на 6,5%; при односторонней текучести это превышение составляет не более 4%. Использование этой предпосылки сущест­венно упрощает решение поставленной задачи. Упро­щение заключается в замене системы с бесконечным числом степеней свободы системы с одной степенью свободы; следовательно, оказывается возможным рассматривать равновесие половины стержня, отделен­ной наиболее нагруженным средним сечением. Во внимание принимается только распределение напряже­ний по поперечному сечению в середине длины стержня.

Главный вектор и главный момент эпюры нормаль­ных напряжений в среднем сечении относительно оси, проходящей через центр тяжести, определяем из соот­ношений:

Рт = J cdF; Мт = J ozdF, (64)

F

Где 2 — расстояние от элементарной площадки до центра тяжести сечения (рис. 44).

Интегрирование в (64) производится с учетом пло­ского распределения деформаций по поперечному сече­нию. Обоснованность этой гипотезы для стали общеиз­вестна. Рекомендации Европейского комитета по бетону предлагают использовать эту гипотезу и для бетона [31]. В (64) в качестве текущей координаты выбран центральный угол а; через него выражаются элементар­ные площадки и для бетона и стали:

DF6 = 2R2 sin2 cida; dFaT = 2Rtd a. (65)

Толщиной оболочки t пренебрегаем, так как она мала по сравнению с радиусом бетонного ядра. Работа бето­на на растяжение не учитывается [110].

Для случая двусторонней текучести в среднем сече — , нии (см. рис. 44) после интегрирования получаем:

<р.

С cos а — cos ф

Рвн = 2Rt aT (л — 29) — I стт ——————————— — IRtda +

J cos р — cos ф

О

Я ф1

С л •> о С л cos а—cos Ф1 „„ „ , + a®-2R2sin2ada — а®—————- — 2R* sin2 ada =

.) т.1 т COS р—COS фх

Р р

Я (cos Р — cos ф) — (sin ф — ф cos ф) + (sin 8 — 6 cos 8)

— 2 Rt ат——————————————————————— ~

Cos р — COS ф

1 , б sin3 ф! — 3 sin ф! + 3 (Фх — я) COS ф! — + — R’ ст"—————— *

3 COS Р — COS фх

— sin3 р + 3 sin р — 3 (Р — я) cos р _

COS Р — COS фх ‘

Е ф

С С cos а — cos ф

Мт = 2ат R cos а • 2Rtda + 2ат——————————————————— 1 X

J J cos 6 — cos ф

Я Ч<1

J" а® ^ cos a-2R2 sin2 ada + j* a® X

О о

Я Ф1

XRcosa-2Rtda-

(66)

Р

Cos a ¦— cos ф.

X ————————————- — R cosa-2R2 sin2 ada =

Cos p — cos фх

_ (ф — sin <p cos ф) — (8 — sin 8 cos 8) _1_ б 3

— "таг — о x

Cos p—cos ф 12

2 sin 2фх — sin 4фх—Зфх — 2 sin 2P + — j — sin 4P+3P X———————— , (67)

COS P — COS фх

Где ф, Фх—центральные углы соответственно для стали и бетона, характеризующие переход от упру­гой части сечения к области текучести; Р — центральный угол, характеризующий поло­жение нейтральной оси.

Если в (66) и (67) принять 0 = 0, то эти формулы оп­ределяют главный вектор и главный момент для случая односторонней текучести в сжатой зоне (см. рис. 44, в). Учитывая условие совместности деформаций

COS Р — COS ф! = ft (cos Р — COS ф) (68)

AT F 21

И введя обозначения — = k; — =п: — — — = ц, aT еТ F6 :R

Из (66) записываем

J* = =aT х R2

Х(х [я (cos р—cos ф) — (sin ф—ф cos 9)+(sin 0—9 cos 0)] +

K

+——- [sin3 ф! — 3 sin фг + 3 (ф—я) COS ф!—sin3 В +

Зга

+ 3 sin (3—3 (Р — я) cos Э]

=———————————————————————————————————— с

Cos р — COS ф

Обозначим в (69) числитель через В, тогда о* в

СТХ COS Р — COS ф ‘

Уравнением (70) определяется продольная сила на вне — центренно-сжатый трубобетонный стержень через пара­метры напряженного состояния среднего сечения.

Установим связь между длиной стержня и парамет­рами р, ф, фь 0. Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Предполагаем справедливым приближенное вы­ражение для кривизны:

1 d2y

* = T = <71)

Такое упрощение при расчете устойчивости стержней допустимо. Это показано в ряде работ, в частности в [108]. Выражаем кривизну через краевые дефор­мации:

1 8- + 8f СТТ

Т-иГ1-^’ (72)

Где с — величина упругой зоны сечения.

Уравнение изогнутой оси стержня записываем в виде

У = fCOs~-, (73)

Где х, у—координаты точки центральной оси; f—максимальный прогиб.

Решая (71) с учетом (73) и сравнивая его с (72), имеем при х=0:

Я2 Е

L2 =———————————————— fe. (74)

Условия равновесия половины стержня, отделенной средним сечением, дают

Р = РвН; Мвн = P(e+Ў). (75)

(70)

Влияние касательных напряжений, как незначительное, не учитываем [11]. Из (75) находим прогиб среднего сечения:

F=~jr-e. (76)

Где е — концевой эксцентрицитет.

Из (74) и (76) получаем условие равновесия изогну­той формы стержня с учетом развития пластических деформаций:

Я2 Е [Мш (6, ф, <pi, G) \ L2 = bhvm. m’.M’i. )_е fl(cosp_C0S(p) (77)

TOC \o "1-3" \h \z От V Р /

Подставляя (69) в (77), после преобразований имеем

L \2 я 2Е /о* о* \

— =—— [А ——m cos р + —т cos ф) , (78)

Н Ў а* \ ох ох у

Где

Е

Т = Т;

А — — j — р. [(ф — sin ф cos ф) —(0—sin 6 cos 0)]—

1 k ( 1

— — • — 2 sin 2ф! — — sin фх — Зф! — 2 sin 26 + 12 ti \ 4

+ — j sin 4p + 3pj, (79)

Далее, находим условие критического состояния стержня. Для этого в выражении (73) исследуем функ­цию (80):

/а* а* \

U = [А — — т cos РН—————————————— т cos ф (80)

V От от /

на условный экстремум с помощью метода неопределен­ных множителей Лагранжа; а* считается заданным.

В качестве дополнительных условий связи перемен­ных используем (68) и (70):

Ф\ = cos Р — cos ф] — «(cos Р — cos ф) = 0; (81)

Д(Р, ф, ф!0) ст*

Ф,= д Т ^ -— =0. (82)

Cos р — cos ф ат

Третье уравнение связи получаем из условия равен­ства высот упругой зоны с в растянутой и сжатой части сечения (см. рис. 44, б):

Ф3 = 2cos р — cos ф — cos 0 = 0 (83)

6—847 81

Составляем функцию Лагранжа в виде суммы четырех слагаемых:

^ = и + ФД, + Ф2Х2 + ФзЯз, (84)

Где Яь "Кз — неопределенные множители Лагранжа.

(85)

Условием экстремума (84) является равенство нулю частных производных:

Эф ~ Эф! ~ " эр ~ Э9 ~

Из (85) получаем условие критического состояния тру — бобетонного стержня:

(Лр Вф — Лф Вр) + (Л0 Вр — В9 Лр) + 2 (Ле Вф — Лф Ве) + + «?V — Л* Вр) + (1 — я) (Лф1 Вф — Лф Вф1) +

+ (1 + п) (Ле Вф1 — Лф1 в6) + ^т (Вф + Вф1 + Вр + Ве) —

Т

+ + + = (86) В (86) введены обозначения:

2 &

Лр = ^пф; Л0 = — ?хвШО; Лф1 = — • — 51пэ Фг

2 й

— — • — Б1ПЗ Р; В = ц, (К — ф); Ве = ц9;

(87)

О Л

К I 1

Во = — ця — — — бШ р + я — | р п \ 2

К I 1

Вф1= — (— вшгфх + я —фх).

Параметры ?3, ф, фЬ 0, удовлетворяющие уравнению (86), позволяют получить из (78) критическую длину стержня.

Если в (86) принять равными нулю все члены, со­держащие 0, то можно получить из него уравнения кри­тического состояния для случая односторонней текуче­сти в среднем сечении.

Параметры ф и 0 можно выразить через р и ф] из (81) и (83):

П }

1 + — М сое Р — — сое фЛ. п ) п ] I

[1 —4") С08Р+ -^-С05фф

Ф = агссоз 9 = агссоэ

Таким образом, задача отыскания критических за­висимостей сводится к решению системы двух нелиней­ных уравнений (86) и (70) с последующим вычисле­нием Ь из (78).

Для того чтобы построить все поле критических за­висимостей 0*/ат—т—А/^, необходимо рассмотреть случай, когда среднее сечение полностью сжато (см. рис. 44, а). Критические зависимости для этого слу­чая получены таким же методом, как и для случая двусторонней текучести. Опуская промежуточные рас­суждения, приведем окончательный результат.

Главный вектор эпюры нормальных напряжений среднего сечения

1

Л — ——- (sin ф — ф COS ф)

+ R2 a6r X

Р = 2 Rto

Вн v т

С

1 1

TOC \o "1-3" \h \z п —— (3 sin ф! — sin3 фх — Зф! cos фх) . (89)

3ct J

Главный момент эпюры нормальных напряжений сред­него сечения

От 1 °т

AНB„ = R4 — (ф — sin ф cos ф) + — ‘—R*x с 12 Сх

X sin 4ф! — 2 sin 2ф! + Зфх| , (90)

Б

Где С = — ;

Б — расстояние от нейтральной оси сечения до зо­ны текучести стали, определяемой парамет­ром ф; сх= с ti­lls (89) получаем, учитывая условие совместности деформаций:

О* 1)

0Т COS ф—COS ф! ‘

Где

/и М я

В = ————- j— (COS ф — COS ф!) + Ц, (ф COS ф — sin ф) +

1 k

+ — • — (sin3 ф! — 3 sin фх — f Зф! cos ф0. (92)

3 п

(91)

6* 83

Выражение для длины стержня в зависимости от параметров наиболее нагруженного сечения имеет вид

L V я2Е / a* cos ф — cos ф,- \

— = — Л-—т———————————————————————— — , (93)

R ) а* V стт п — 1 J

Где

А =—(i (ф — sin ф cos ф) +-— • — I—sin 4фх—2 sin 2ф1+3ф1] . (94) 2 12 ть \ 4 J

Уравнение, связывающее переменные в критическом состоянии:

(лф + Лф( m (Вф + Вф1) + (п — 1) X

Х(Лф1Вф-ЛфВф1) = 0, (95)

Где

2 k „ „ (ц + ?) я

Л = fi sin ф; Л = —————————— sin3 ф ; В = — цф——————— — ;

О ti ti — 1

K (li + к) я Вф1 = — (sin ф1 cos фх — фх) Н———————- —— .

Решение полученных уравнений для отыскания кри­тических зависимостей произведено на ЭВМ.

Ряду авторов, в частности [134], решение данной за­дачи представлялось невозможным. Первая постановка этой задачи содержится в [104]. Аналогичным способом позднее данная задача решалась в [143] без учета по­вышенной прочности бетонного ядра и без вывода ана­литического условия критического состояния стержня. Общие зависимости с учетом упругого защемления кон­цов стержней получены в [78]. Внецентренное сжатие коротких трубобетонных стержней рассматривалось в [29, 88].



.