§ 20. Пересечение геометрических тел плоскостью и построение действительного вида сечения

При пересечении геометрических тел плоскостью образуется замкнутая лома­ная или кривая линия. Изображение плоской фигуры, которая получается в ре­зультате мысленного пересечения предме­та плоскостью, называется сечением. Се­чения применяют в техническом черчении и проектных чертежах для лучшего вы­явления формы изображенного предмета.

Рассмотрим способы построения сече­ний геометрических тел проецирующими плоскостями и способы определения дей­ствительного вида сечеиий.

Сечение призмы. Правильная трехгран­ная призма пересекается фронтально про­ецирующей плоскостью Р, т. е. плоско­стью, перпендикулярной фронтальной плоскости проекции V. На рис. 55, а по­казан фронтальный след секущей плоско­сти Ру, который называется линией сече­ния.

На фронтальной проекции видно, что боковые ребра призмы пересекаются плоскостью Р в точках /’, 2′, 3′. Следова­тельно, в сечении получится треугольник, который на фронтальной проекции проеци­руется в линию и совпадает с проецирую­щим следом плоскости Ру, а на горизон­тальной проекции — с проекцией призмы.

Построим профильную проекцию сече­ния, перенося с помощью линий связи про­екции вершин треугольника на соответ­ствующие проекции ребер призмы. Все три проекции сечения искажены, поскольку се­кущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций. В произвольном месте чертежа построим действительный вид (натуральную величину) сечения (рис. 55,6). Сторона треугольника сече­ния /’—3′ проецируется на фронтальную плоскость проекций без искажения, по­скольку она параллельна ей. Высота треу­гольника у2 проецируется в истинную ве­личину иа горизонтальной и профильной проекциях. Действительный вид сечения принято заштриховывать.

Сечение пирамиды. Правильная прямая трехгранная пирамида пересекается гори­зонтально проецирующей плоскостью Р, т. е. плоскостью, перпендикулярной гори­зонтальной плоскости проекций Н. На рис. 56, а показан горизонтальный след секущей плоскости Рн.

Рис. 55. Сечеиие призмы фронтально проецирующей плоскостью (а) и построе­ние действительного вида сечения (б)

При построении сечения горизонтально проецирующей плоскостью следует по­мнить, что плоская фигура (сечение), рас­положенная в этой плоскости, всегда прое­цируется на горизонтальную плоскость проекций прямой линией, совпадающей с линией сечения или со следом плоскости Рн. Таким образом, по горизонтальной проекции сечення можно построить ее фронтальную проекцию. Для этого отдель­ные точки сечения /, 2, 3, 4, отмеченные иа горизонтальной плоскости проекций, на­ходят по линиям связи иа фронтальной проекции предмета {/’, 2′, 3′, 4′) и соеди­няют их в определенном порядке.

Построим профильную проекцию сече­ния 1"—2"—3"—4", перенося с помощью линий связи проекции вершин четыреху­гольника иа соответствующие проекции ребер пирамиды. Все три проекции сече­ния искажены, поскольку секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций. Определим действи­тельный вид сечения. Повернем фигуру сечення вокруг горизонтального следа се­кущей плоскости Гц или вокруг линии сечения основания пирамиды /—4 и со­вместим ее с горизонтальной плоскостью проекций И. При этом каждая точка будет вращаться в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Высоты (аппликаты) точек 2 и 3 (22 и 2з) отложим по линиям, перпен­дикулярным следу плоскости Рн. Получен­ные точки 2о и <Зо соединим прямыми меж­ду собой и с точками / и 4. Натуральную величину сечения заштрихуем.

Действительный вид сечеиия (четыреху­гольник /—2о—<Зо—4) можно построить также и в произвольном месте чертежа (рис. 56, б) по известным на чертеже раз­мерам сечения, его горизонтальной проек­ции— линии /—2—3—4 и высотам точек 20 и <30.

Сечеиие цилиндра. Прямой круговой ци­линдр пересекается фронтально проециру­ющей плоскостью Р (рис. 57, а), перпенди­кулярной плоскости проекции V. Секущая плоскость наклонена к оси цилиндра и по­этому пересекает его поверхность по эл­липсу. Этот эллипс проецируется иа фрон­тальную плоскость проекций в прямую ли­нию, совпадающую со следом секущей плоскости Ру. Горизонтальная проекция эллипса совпадает с проекцией нижнего основания цилиндра.

Построим действительный вид сечеиия. Большая ось эллипса будет равна его фронтальной проекции—отрезку а’Ь’. Проведем на произвольном расстоянии от следа секущей плоскости Ру прямую, па­раллельную линии сечения, и перенесем на нее с помощью перпендикулярных прямых концы большой оси эллипса — точки Л и В. Малая ось эллипса СО будет равна отрезку прямой ей, взятому с горизонталь­ной проекции (диаметр цилиндра). Лю­бую пару точек эллипса, симметричных относительно его большой оси (например, точки М н А/), строим, перенося посредст­вом линий связи соответствующие полу­хорды с горизонтальной проекции фигуры сечения (т, л).

А) 6)

Рис. 56. Сечение пирамиды горизонтально проецирующей плоскостью (а) и построение действительного внда сечения (б)

На рис. 57, б даиа развертка поверхио-

Рис. 57. Сечение цилиндра фронтально проецирующей плоскостью: а — построение действительного вида сечения, б — развертка поверхности усеченного цнлнндра, в — соединение элементов трубопровода, выполненных по шаблону путем развертки усеченных

Цилиндров

Сти цилиндра, у которого удалена отсечен­ная верхняя часть. Развертка боковой по­верхности цилиндра выполнена аналогич­но построению развертки, приведенному на рис. 53. Линию пересечения на развер­тке строим, перенося с фронтальной про­екции цилиндра с помощью горизонталь­ных прямых высоты соответствующих пар точек. С разверткой боковой поверхности совмещаются круг — основание цилиндра и эллипс — действительный вид сечения, при этом эллипс совмещается с определен­ной точкой кривой (точка В).

Способ построения развертки поверхно­сти усеченного цилиндра можно использо­вать для выполнения шаблона, применяе­мого для раскроя листового металла тру­бопроводов и других конструкций (рис. 57, в).

Сечеиие конуса. В зависимости от поло­жения секущей плоскости в сечении пря­мого кругового конуса могут получиться различные плоские фигуры: треугольник, окружность, эллипс, парабола и гипербо­ла. Рассмотрим случай, когда в сечении прямого кругового конуса получается эл­липс.

Прямой круговой конус пересекается фронтально проецирующей плоскостью Т (рис. 58) таким образом, что пересека­ются все его образующие. В сечении полу­чается замкнутая кривая — эллипс, кото­рый на фронтальную плоскость проекций проецируется в прямую, совпадающую со следом секущей плоскости, а на горизон­тальную и профильную плоскости проек­ций — в эллипсы (с искажением). Постро­им проекции этого сечения.

Плоскость Т пересекает крайние образу­ющие конуса Б—1 и 5—11 в точках а’ и Ь’. Прямая а’—Ь’ будет фронтальной проек­цией большой оси эллипса и равна дей­ствительной ее величине. Горизонтальные (а, Ь) и профильные (а", Ь") проекции этих точек определим посредством линий связи на соответствующих проекциях об­разующих конуса 5—I и 5—II. Концы малой оси эллипса проецируются на фрон­тальной проекции посередине проекции большой оси эллипса — точки с’, По­строим горизонтальные проекции этих то­чек с помощью вспомогательной горизон­тальной окружности — параллели конуса, проведенной через эти точки (см. § 18). Профильные проекции точек с", с!" стро­им пересечением линий связи.

В качестве промежуточных точек кривой сечения берут точки т’, п’, которые со­впадают с фронтальной проекцией оси и лежат на очерковых относительно про­фильной плоскости проекций образующих конуса. Профильные проекции этих точек строим посредством горизонтальной линии связи, горизонтальные проекции — пере­сечением линий связи.

Действительный вид сечения — эл­липс — строим по большой (отрезок а’Ь’) и малой (отрезок сс1) его осям, размер которых берем соответственно с фронталь­ной и горизонтальной проекций сечения.

Аналогично строим хорды эллипса (М№).

Сечеиие детали. Построение действи­тельного вида сечения детали фронтально проецирующей плоскостью показано на рис. 59. Прежде чем приступить к построе­нию сечения детали сложной формы, мыс­ленно расчленяют деталь на составляю­щие ее геометрические тела, сечения кото­рых фронтально проецирующей плоско­стью уже были рассмотрены. Деталь состоит из правильной прямой шестигран­ной пирамиды, прямого кругового цилинд­ра с призматическим отверстием, симмет­ричным относительно оси цилиндра, и пря­мой правильной четырехгранной призмы. Оси всех трех геометрических тел совпада­ют. Основание пирамиды вписывается в окружность основания цилиндра.

А) Я

Рис. 58. Сечение конуса фронтально проецирующей плоскостью (а) и построение действительного вида сечения (б)

Секущая плоскость 5 рассекает все три тела: пирамиду — по пятиугольнику, ци­линдр — по неполному эллипсу и при­зму— по прямоугольнику (рис. 59, а). Фигура сечения заданной детали пред­ставляет собой совокупность этих сечений, расположенных на общей оси симмет­рии. Ось симметрии сечения проведем па­раллельно следу секущей плоскости (рис. 59, б). Размеры сечения, измеряемые

Рис. 59. Построение сечения детали фронтально проецирующей плоскостью: а — проекции детали, 6 — действительный внд сечення

Вдоль оси симметрии, берем с фронталь­ной проекции детали, размеры по ширине сечеиия — с ее горизонтальной проекции.

Сечеиие строим путем последовательно­го построения характерных точек контура сечения. Секущая плоскость 5 сначала пересекает не полностью две симметрич­ные грани пирамиды с общим ребром, за­тем — Цилиндр по неполному эллипсу. Чтобы построить неполный эллипс, реко­мендуется построить большую и малую его оси. Большая ось равна отрезку т’ п’ прямой, взятому на следе секущ-й плоско­сти фронтальной проекции детали, между точками пересечения линии сечения с продолжением очерковых образующих цилиндра. Малая ось эллипса сечения равна диаметру цилиндра. Поперечники фигуры сечения в характерных его точках берем с горизонтальной проекции детали (координаты У). В месте пересечения се­кущей плоскостью двух ребер пирамиды (&’) берем координату К», а там, где секу­щая плоскость пересекает одиовремеиио цилиндр и призму {[‘), берем две коорди­наты У; И Ун-



.