А) *)

Рис. 38. Пересечение конуса плоскостью по эллипсу (а) и эллипс (б)

Для построения параболы по заданной направляющей и фокусу через точку ? проведем ось х параболы перпендику­лярно направляющей MN. Отрезок ?? разделим пополам и получим вершину А параболы. Перпендикулярно оси пара­болы на произвольном расстоянии от вер­шины проведем прямые. Из точки ? радиу­сом, равным расстоянию ? от направляю­щей до соответствующей прямой, напри­мер СВ, делаем засечки на этой прямой — точки С и В. Построив таким образом несколько пар симметричных точек, про-

А) 5) Л)

Рис. 40. Пересечение конуса плоскостью по параболе (а); построение параболы по фокусу и директрисе (б) и по двум ее точкам и касательным (в)

Рис. 41. Построение параболы по одной точке, вершине и оси (а); чертеж вазы с параболическим контуром (б)

Ведем через них с помощью лекала плав­ную кривую.

На рис. 40, в приведен еще один способ построения параболы, касательной к двум прямым ОА и Об в точках А и В. Отрезки ОА и ОВ делим на одинаковое число рав­ных частей (например, на восемь). Полу­ченные точки деления нумеруем и однои­менные точки соединяем прямыми /—/, 2—2, 3—3 и т. д., как указано на рисунке. Эти прямые являются касательными к па­раболической кривой. Далее в образован­ный прямыми коитур вписываем плавную касательную кривую — параболу.

На рис. 41, а парабола построена по заданной точке А, вершине В и оси ВО. Через точки А и В проведем горизонталь­ную и вертикальную прямые до пересече­ния в точке С. Отрезки АС и ВС делим на одинаковое число частей. Через получен­ные точки горизонтального отрезка про­ведем вертикальные прямые, а точки деле­ния вертикального отрезка соединим с вершиной параболы — с точкой В. Пере­сечение прямых с одинаковой нумерацией дает ряд точек параболы, которые соеди­няем плавной кривой. На рис. 41,6 дан чертеж вазы. Внешний контур основной ее части — чаши представляет собой парабо­лическую кривую, построенную этим спо­собом.

Гипербола. Если рассечь прямой и об­ратный конусы плоскостью, параллельной двум его образующим или в частном слу­чае параллельно оси, то в плоскости сече­ния получится гипербола, состоящая из двух симметричных ветвей (рис. 42, а).

Гиперболой (рис. 42, б) называется плоская кривая, у которой разность рас­стояний от каждой ее точки до двух дан­ных точек /ч и 2, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная рас­стоянию между ее вершинами а и Ь, на­пример 5/г1 —5/гг = ай.

У гиперболы две оси симметрии — дей­ствительная АВ и мнимая СО. Две прямые КЬ и К\Ь\, проходящие через центр О гиперболы и касающиеся ее ветвей в бесконечности, называются асимпто­тами.

Гиперболу можно построить по задан­ным вершинам а и Ь и фокусам /м и Вершины гиперболы определяем, вписы­вая прямоугольник в окружность, постро­енную на фокусном расстоянии (отрезке /г|/гд), как на диаметре. На действитель­ной оси А В справа от фокуса намечаем произвольные точки 1,2,3,4… Из фокусов Л и ?2 проводим дуги окружностей снача­ла радиусом а — 1, затем радиусом Ь — / до взаимного пересечения по обе сторо­ны от действительной оси гиперболы. Да­лее выполним взаимное пересечение сле­дующей пары дуг радиусами а — 2 и Ь — 2 (точка 5) и т. д. Полученные точки пересечения дуг принадлежат правой вет­ви гиперболы. Точки левой ветви будут симметричны построенным точкам относи­тельно мнимой оси СО.

Вычерчивание лекальных кривых. Ле­кальные кривые строят по точкам, которые соединяют с помощью лекал. Предвари­тельно от руки прорисовывают кривую по точкам. Принцип соединения отдельных точек кривой заключается в следующем. Выбираем ту часть дуги лекала, которая лучше всего совпадает с наибольшим ко­личеством точек очерчиваемой кривой. Далее проводим не всю дугу кривой, со­впадающую с лекалом, а лишь среднюю часть ее. После этого подбираем другую часть лекала, но так, чтобы эта часть касалась примерно одной трети проведен­ной кривой и не менее двух последующих точек кривой, и т. д. Таким образом обес­печивается плавный переход между от­дельными дугами кривой.

Контрольные вопросы

Рис. 42. Пересечение конуса плоскостью по гиперболе (а) и построение гиперболы (б)

С

Пу—

1а /

\ ?1

Ъ

6)

I. Как разделить окружность на шесть и во­семь равных частей? 2. Каким образом опреде­ляют точки касания прямой линии к окружности и точки сопряжения двух окружностей? 3. Что называют сопряжением линий? 4. Какие кривые называют лекальными? Перечислите известные вам лекальные кривые.

При выполнении технических чертежей применяют различные проекционные изо­бражения, главным образом прямоуголь­ные проекции предмета и его дополнитель­ные виды. Всякая техническая деталь или сооружение представляет собой комплекс геометрических тел. Следовательно, при составлении чертежа и чтении его необхо­димо уметь находить эти составляющие геометрические формы, а также строить разрезы, сечения, линии перехода. Недо­статочная наглядность изображения пред­мета в прямоугольных проекциях воспол­няется аксонометрическими изображения­ми и техническим рисунком.

ГЛАВА III ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ



.