Category Archives: Чертение

§ 13. Циркульные кривые линии

Сочетания дуг окружностей, последова­тельно сопряженных между собой и вы­полняемых с помощью циркуля, образуют циркульные кривые линии (плоские). Та­кие линии применяют при выполнении тех­нических чертежей.

Построение овала по заданным осям. Овалы — замкнутые выпуклые кривые ли­нии с одной или двумя осями симметрии, образованные сопряженными между собой

Рис. 35. Построение овала по заданным осям (а) и коробовой кривой по ширине пролета и подъему свода (б)

2000

А)

Рис. 36. Построение овала с одной осью симметрии (а) и поперечного сечения водоотводной железобетонной трубы (б)

Дугами окружностей. Овалы строят обыч — "но по четырем центрам.

На рис. 35, а приведено одно из воз­можных построений овала по заданным осям. Из точки пересечения осей О радиу­сом, равным половине большой оси, про­ведем дугу окружности до пересечения с продолжением малой оси. Отрезок А)С является разностью полуосей. Соединим концы осей прямой АС, на которой отло­жим отрезок САг, равный А\С. Оставшую­ся часть прямой (отрезок ЛЛг) разделим пополам и через середину этого отрезка проведем перпендикуляр до пересечения с горизонтальной осью в точке /, а с вер­тикальной — в точке 4. Точки / и 4, а так­же симметричные им точки 2 и 3 будут центрами дуг окружностей овала. Точки сопряжения ?, /V, М находятся на лини­ях этих центров.

На рис. 35, б построена коробовая кри­вая по ширине пролета и подъему свода, что выполнено аналогично построению овала по заданным осям.

— Овал с одной осью симметрии. Такой овал строим следующим образом (рис. 36, а). Проведем взаимно перпендикуляр­ные прямые. Из точки пересечения О опи­шем окружность. Точки Лий соединим прямыми с точкой М, которые продолжим за пределы окружности. Контур овала вы­чертим в такой последовательности. Сна­чала выполним верхнюю часть овала — полуокружность радиуса О А. После этого

?

«Л

И

10 1 г з «

ИНН, I I I — I о)

Модуль

Рис. 37. Архитектурные обломы: а — «гусек», б — «каблучок», в — четвертной вал, г — выкружка, д — скоция, е — вал, ж — полочка, з — астрагал; / — прямой, II — обратный

Из точек А и В проведем сопрягающие дуги окружностей радиусов ВЕ=АР. Кон­тур овала замыкается дугой окружности радиуса ЕМ.

На рис. 36, б изображено сечение водо­отводной трубы, построенное аналогичным способом.

Архитектурные обломы. Архитектурны­ми обломами называют профили отдель­ных элементов, входящих в состав наруж­ных нли внутренних карнизов зданий и других архитектурных элементов. Раз­личные сочетания архитектурных обломов, выполненные в натуральную величину, служат основой для изготовления штука­турных шаблонов, которые предназначены для создания профилей карнизов при от­делочных работах.

На рис. 37 изображены архитектурные обломы. За единицу масштаба принята условная единица — модуль.

§ 14. Лекальные кривые линии

Для построения лекальных кривых оп­ределяют точки, принадлежащие кривой, а затем соединяют их с помощью лекала. К лекальным кривым относятся так на­зываемые конические сечения — эллипс, парабола, гипербола, получаемые в ре­зультате сечения кругового конуса плоско­стью, эвольвента, синусоида и другие кри­вые.

Эллипс. Если рассечь поверхность кру­гового конуса наклонной плоскостью Р так, чтобы она пересекла все его образу­ющие, то в плоскости сечения получится эллипс (рис. 38, а).

Эллипс (рис. 38, б) — это плоская за­мкнутая кривая, у которой сумма расстоя­ний каждой из ее точек М до двух за­данных точек F? и ?г есть величина по­стоянная и равная большой оси эллипса: М/ч +М/г2 = Лб. Оси эллипса — большая АВ и малая СО — взаимно перпендику­лярны и одна делит другую пополам. Оси делят кривую эллипса на четыре равные, попарно симметричные части. Если из кон­цов малой оси С?>, как из центров, описать дугу окружности радиусом, равным поло­вине большой оси эллипса Я = ОА = ОВ, то она пересечет ее в точках ?) и ?2, на­зываемых фокусами.

На рис. 39 приведен один из способов построения эллипса по его осям. На за­

Данных осях АВ и СО, как на диаметрах, строим две концентрические окружности с центром в точке О. Большую окружность делим на произвольное число частей, и по­лученные точки соединим прямыми с цент­ром О. Из точек пересечения 1, !’, 2, 2′, 3, 3′, 4, 4′ со вспомогательными окруж­ностями проведем отрезки вертикальных и горизонтальных прямых до их взаимного пересечения в точках ?, ?, К, М, принад­лежащих эллипсу. Соединив с помощью лекала построенные точки плавной кри­вой, получим эллипс.

Парабола. Если круговой конус рассечь плоскостью Р, параллельной одной из его образующих, то в плоскости сечения полу­чится парабола (рис. 40, а).

Парабола (рис. 40, б) — плоская неза­мкнутая кривая линия, каждая точка ко­торой расположена на одинаковом рассто­янии от данной прямой МИ — направляю­щей, перпендикулярной оси параболы, и от фокуса ?. Вершина параболы А рас­положена посередине между фокусом ? и направляющей ММ

А) *)

Рис. 38. Пересечение конуса плоскостью по эллипсу (а) и эллипс (б)

Для построения параболы по заданной направляющей и фокусу через точку ? проведем ось х параболы перпендику­лярно направляющей MN. Отрезок ?? разделим пополам и получим вершину А параболы. Перпендикулярно оси пара­болы на произвольном расстоянии от вер­шины проведем прямые. Из точки ? радиу­сом, равным расстоянию ? от направляю­щей до соответствующей прямой, напри­мер СВ, делаем засечки на этой прямой — точки С и В. Построив таким образом несколько пар симметричных точек, про-

А) 5) Л)

Рис. 40. Пересечение конуса плоскостью по параболе (а); построение параболы по фокусу и директрисе (б) и по двум ее точкам и касательным (в)

Рис. 41. Построение параболы по одной точке, вершине и оси (а); чертеж вазы с параболическим контуром (б)

Ведем через них с помощью лекала плав­ную кривую.

На рис. 40, в приведен еще один способ построения параболы, касательной к двум прямым ОА и Об в точках А и В. Отрезки ОА и ОВ делим на одинаковое число рав­ных частей (например, на восемь). Полу­ченные точки деления нумеруем и однои­менные точки соединяем прямыми /—/, 2—2, 3—3 и т. д., как указано на рисунке. Эти прямые являются касательными к па­раболической кривой. Далее в образован­ный прямыми коитур вписываем плавную касательную кривую — параболу.

На рис. 41, а парабола построена по заданной точке А, вершине В и оси ВО. Через точки А и В проведем горизонталь­ную и вертикальную прямые до пересече­ния в точке С. Отрезки АС и ВС делим на одинаковое число частей. Через получен­ные точки горизонтального отрезка про­ведем вертикальные прямые, а точки деле­ния вертикального отрезка соединим с вершиной параболы — с точкой В. Пере­сечение прямых с одинаковой нумерацией дает ряд точек параболы, которые соеди­няем плавной кривой. На рис. 41,6 дан чертеж вазы. Внешний контур основной ее части — чаши представляет собой парабо­лическую кривую, построенную этим спо­собом.

Гипербола. Если рассечь прямой и об­ратный конусы плоскостью, параллельной двум его образующим или в частном слу­чае параллельно оси, то в плоскости сече­ния получится гипербола, состоящая из двух симметричных ветвей (рис. 42, а).

Гиперболой (рис. 42, б) называется плоская кривая, у которой разность рас­стояний от каждой ее точки до двух дан­ных точек /ч и 2, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная рас­стоянию между ее вершинами а и Ь, на­пример 5/г1 —5/гг = ай.

У гиперболы две оси симметрии — дей­ствительная АВ и мнимая СО. Две прямые КЬ и К\Ь\, проходящие через центр О гиперболы и касающиеся ее ветвей в бесконечности, называются асимпто­тами.

Гиперболу можно построить по задан­ным вершинам а и Ь и фокусам /м и Вершины гиперболы определяем, вписы­вая прямоугольник в окружность, постро­енную на фокусном расстоянии (отрезке /г|/гд), как на диаметре. На действитель­ной оси А В справа от фокуса намечаем произвольные точки 1,2,3,4… Из фокусов Л и ?2 проводим дуги окружностей снача­ла радиусом а — 1, затем радиусом Ь — / до взаимного пересечения по обе сторо­ны от действительной оси гиперболы. Да­лее выполним взаимное пересечение сле­дующей пары дуг радиусами а — 2 и Ь — 2 (точка 5) и т. д. Полученные точки пересечения дуг принадлежат правой вет­ви гиперболы. Точки левой ветви будут симметричны построенным точкам относи­тельно мнимой оси СО.

Вычерчивание лекальных кривых. Ле­кальные кривые строят по точкам, которые соединяют с помощью лекал. Предвари­тельно от руки прорисовывают кривую по точкам. Принцип соединения отдельных точек кривой заключается в следующем. Выбираем ту часть дуги лекала, которая лучше всего совпадает с наибольшим ко­личеством точек очерчиваемой кривой. Далее проводим не всю дугу кривой, со­впадающую с лекалом, а лишь среднюю часть ее. После этого подбираем другую часть лекала, но так, чтобы эта часть касалась примерно одной трети проведен­ной кривой и не менее двух последующих точек кривой, и т. д. Таким образом обес­печивается плавный переход между от­дельными дугами кривой.

Контрольные вопросы

Рис. 42. Пересечение конуса плоскостью по гиперболе (а) и построение гиперболы (б)

С

Пу—

1а /

\ ?1

Ъ

6)

I. Как разделить окружность на шесть и во­семь равных частей? 2. Каким образом опреде­ляют точки касания прямой линии к окружности и точки сопряжения двух окружностей? 3. Что называют сопряжением линий? 4. Какие кривые называют лекальными? Перечислите известные вам лекальные кривые.

При выполнении технических чертежей применяют различные проекционные изо­бражения, главным образом прямоуголь­ные проекции предмета и его дополнитель­ные виды. Всякая техническая деталь или сооружение представляет собой комплекс геометрических тел. Следовательно, при составлении чертежа и чтении его необхо­димо уметь находить эти составляющие геометрические формы, а также строить разрезы, сечения, линии перехода. Недо­статочная наглядность изображения пред­мета в прямоугольных проекциях воспол­няется аксонометрическими изображения­ми и техническим рисунком.

ГЛАВА III ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ

§ 15. Центральное н параллельное проецирование

Различные способы изображения про­странственных форм на плоскости, кото­рые применяют при составлении чертежей и построении наглядных изображений, ос­нованы на методе проекций, включающем в себя два основных способа проецирова­ния — центральное и параллельное.

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ ПРОЕКЦИОННЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ НА ЧЕРТЕЖАХ

Центральное проецирование. В про­странстве находятся параллелепипед (рис. 43, а), вертикальная плоскость К (плос­кость проекций) и точка S (центр про­ецирования). Проведем через центр про­ецирования и вершины параллелепипе­да прямые линии (проецирующие прямые или лучи) до пересечения с плоскостью проекций. Точки пересечения а, Ь, с, d, е, / служат центральными проекциями со­ответствующих точек (вершин) предмета. Соединив эти точки прямыми, получим центральную проекцию (перспективу) предмета — Вертикальные грани параллеле­пипеда изобразились на плоскости трапе­циями, поскольку ребро АО расположено к центру проецирования ближе, чем ребра ВС и ЕР. Вертикальные ребра параллеле­пипеда, параллельные плоскости проек­ций, спроецировались также параллельны-

Рис. 43. Центральное (а) и параллельное (б) проецирование

Ми, но разной величины, а горизонтальные ребра, не параллельные плоскости проек­ций, изобразились сходящимися.

При перемещении плоскости проекций параллельно самой себе центральная про­екция предмета будет уменьшаться или увеличиваться, ее форма при этом остает­ся неизменной. При удалении или прибли­жении центра проецирования к предмету форма проекции будет меняться.

Центральное проецирование лежит в ос­нове рисования с натуры. На центральном проецировании основано зрение человека, действие фото — и киноаппаратов, а также проецирование изображений на экране.

Параллельное проецирование. Этот спо­соб проецирования — частный случай цен­трального. Отличие заключается в том, что центр проецирования как бы удален в бесконечность, поэтому проецирующие прямые становятся параллельными (рис. 43,6). Направление лучей задано прямой линией 57", называемой направлением про­ецирования.

Проведем через вершины параллелепи­педа проецирующие прямые параллельно заданному направлению проецирования. В пересечении с плоскостью проекций К получим параллельные проекции то­чек — изображение вершин параллелепи­педа; соединив их прямыми, получим па­раллельную проекцию параллелепипеда. Параллельные ребра параллелепипеда спроецируются на плоскость проекций па­раллельными, однако прямоугольные гра­ни изобразятся параллелограммами, пря­мые углы будут искажены. В частном слу­чае, когда грань параллелепипеда па­раллельна плоскости проекций, эта грань изобразится без искажения, т. е. прямоу­гольником. При перемещении плоскости проекций параллельно самой себе размер и форма параллельной проекции не изме­няются.

На основе параллельного проецирова­ния получают наглядные изображения предметов (аксонометрические проекции) и выполняют технические рисунки.

Перспектива, аксонометрические изо­бражения, чертеж. На рис. 44 даны три изображения параллелепипеда, выполнен­ные различными методами, которыми пользуются в технике, проектировании и строительстве.

А) В) 6)

Рис. 44. Основные виды изображений: а—центральная проекция (перспектива), б— параллельная проекция (аксонометрия), в — прямо­угольные проекции (чертеж)

В центральной проекции или перспекти­ве выполнено первое изображение (рис. 44, а). Оно обладает наилучшей наглядно­стью и наиболее точно передает те зри­тельные впечатления, которые получает наблюдатель, рассматривая предмет в на­туре. Перспектива, как и фотография, пе­редает не только общую форму предмета, но и отражает взаимное расположение на­блюдателя и предмета: поворот и удале­ние предмета относительно зрителя. На­пример, вертикальное ребро параллелепи­педа, которое расположено ближе к цент­ру проецирования (наблюдателю), изо­бразилось большего размера, чем то, которое расположено дальше. Параллель­ные горизонтальные прямые спроецирова — лись сходящимися в глубине линиями и т. д.

Преимущество перспективы по сравне­нию с фотографированием состоит в том, что можно получить наглядное изображе­ние несуществующего, проектируемого предмета. Недостаток этого метода — по перспективному изображению сложно определить истинные размеры предме­та.

В параллельной проекции, аксономет­рии выполнено второе изображение (рис. 44, 6). Оно не отличается такой наглядно­стью, как перспектива. В этом случае от­сутствует перспективное уменьшение уда­ленных элементов, предмет рассматрива­ется как бы издалека и только сверху или снизу. Аксонометрия дает представление о форме изображаемого предмета, по ней также можно определить основные разме­ры предмета. Построить аксонометриче­ское изображение значительно проще, чем перспективу. Аксонометрию применяют как в техническом черчении, так и в техни­ческом рисовании.

В параллельной (прямоугольной) про­екции выполнено также третье изображе­ние (рис. 44, в). От первых двух это изо­бражение отличается тем, что предмет проецируется не на одну плоскость про­екций, а на две или три и таким образом, чтобы форма и размеры предмета не иска­жались. На основе прямоугольного прое­цирования на две или три плоскости про­екций составляют чертежи предметов и различную проектную документацию. По чертежу очень точно определяются разме­ры параллелепипеда, так как его грани изображены в натуральную величину. Изображение параллелепипеда в прямоу­гольной проекции на чертеже не обладает такой наглядностью, как перспективное или аксонометрическое изображение. Что­бы представить себе изображенный на чертеже предмет, нужно сопоставить две или три его проекции. Поэтому чертежи предметов, выполненные в прямоугольных проекциях, в некоторых случаях дополня­ют перспективными и аксонометрическими изображениями.

Прямоугольные проекции (чертежи) предмета обладают следующим преиму­ществом: при наличии масштаба и разме­ров по чертежам можно воспроизвести изображенные предметы в точном соответ­ствии с проектным замыслом.



.