Category Archives: Трубы

/ \

Н

1-1

1.8

Рас. 27. Использование трубобетонных стержней в качестве ветвей сквозных колонн производственных зданий

Няет конструкции по сравнению с традиционной схемой.

В традиционных схемах производственных зданий рас­ход металла на сжатые элементы, в частности на колон­ны, достаточно велик. Если принять массу планировоч­ной ячейки здания за 100%, то колонны составляют в прокатных цехах 20—30%, в мартеновских цехах— 15%, в цехах тяжелого машиностроения — 35%.

Конструкция колонн сложная, что является одной из существенных причин увеличения их шага и уменьшения количества. Препятствием к применению здесь железо­бетона может быть несоответствие свойств бетона тем — пературно-влажностным режимам цехов, монтажно-кон — структивные трудности (вследствие большой массы и высоты железобетонных колонн) и сложность сопряже­ния частей сталежелезобетонных рам.

N

При проектировании необходимо учитывать конструк­тивные преимущества трубчатых конструкций, в кото­рых трубы можно прикреплять друг к другу без соедини­тельных и переходных деталей, что существенно сни­жает массу конструкций. Однако такое соединение элементов требует более точной и сложной по форме об­резки торцов труб.

Второй подход к конструированию каркасов состоит в разработке новых схем, в которых основные расчетные нагрузки воспринимаются сильно сжатыми трубобетон — ными элементами. При таком подходе учитываются: во — первых, принцип концентрации материала, согласно ко­торому укрупненные элементы облегчаются за счет более быстрого роста несущей способности конструкции, неже­ли ее массы, во-вторых, принцип упрощения конструк­тивной формы — исключение из конструкции некоторых второстепенных деталей и, в-третьих, известный прин­цип совмещения функций.

На рис.28 показаны большепролетные подкрановые балки (для пролетов 48 м), состоящие из небольшого количества очень мощных стержней, а на рис. 29 — пред­варительно-напряженные подкрановые безраспорные эстакады с тяжело нагруженными сжатыми стойками и раскосами. Сжатые стержни этих конструкций могут быть выполнены из труб, заполненных бетоном. Некото­рое утяжеление конструкции вследствие заполнения труб бетоном не считается недостатком, так как строи­тельные конструкции неподвижны и снижение их собственного веса не является для них существен­ным. При достаточно высокой марке бетона (500 и выше) масса трубобетонных элементов оказыва­ется даже меньше массы соответствующих сталь­ных [71].

Дополнительные резервы увеличения эффективности трубобетонных конструкций можно получить, используя предварительное напряжение растянутых трубобетон­ных стержней.

В ряде случаев весьма эффективными оказываются составные трубобетонные стержни разнообразных сече­ний (рис.30), для которых могут применяться разные системы решеток: раскосного и безраскосного типа, пер­форированные и сплошные листы. При применении трех первых типов соединений получаются сквозные состав­ные стержни; при применении последнего типа — сплош­ные. Трубобетонные составные стержни обладают всеми свойствами пространственных составных стержней вооб­ще, находящих широкое применение в конструкциях. Та­кие стержни целесообразно применять в качестве колонн,

32 I

Балочных площадок, междуэтажных перекрытий, эста­кад, путепроводов, трубопроводов и т. д.

Двухтрубные стержни (см. рис. 30, а) оказываются це­лесообразными в сжатых поясах ферм, когда необходимо увеличить несущую способность пояса из плоскости фер­мы, составные трехгранные трубобетонные стержни — в вантовых опорах воздушных линий электропередачи, где стойки работают в основном на сжатие.

Рис. 30. Основные типы сечений составных трубобетонных стержней

При использовании составных трубобетонных колонн в промышленных одноэтажных зданиях с кранами гру­зоподъемностью 10—30 т рациональны стержни постоян­ного сечения (см. рис. 30, а, б). Для наружной колонны наиболее сжатая ветвь должна иметь трубу большего диаметра; у колонны среднего ряда ветви могут быть одинакового диаметра.

В цехах с тяжелой крановой нагрузкой (при кранах грузоподъемностью более 100 т) составные стержни применяются в колоннах раздельного типа. Подкрано­вая трубобетонная составная стойка раздельной колон­ны выполняется сплошной (см. рис. 30, а). К шатровой ветви она присоединяется рядом планок. Сама шатровая ветвь может быть трубобетонной или стальной обычного типа.

Если колонна работает на внецентренное стажие, то функцию растянутой части сечения может выполнять обычный лист, швеллер или двутавр; трубобетон здесь работает в основном на сжатие (см. рис. 30, в — д).

Колонны переменного сечения выполняются сплош­ными и сквозными (см. рис.30,а—в). Сечения наружных колонн, имеющих одну подкрановую ветвь, могут быть несимметричными (см. рис. 30, а, б). Стенку с лучше вы­полнять сплошной. Если в шатровой ветви усилие сжатия не велико, то она выполняется пустотелой. Сечения сред­них колонн симметричны, поэтому их следует делать по рис. 30, е.

Стальная труба как элемент строительных конструк­ций завоевывает все более широкое признание. Исполь­зование трубобетонных конструкций способствует увели­чению применения труб, что в конечном итоге приведет к значительной экономии стали.

Глава II

РАБОТА ТРУБОБЕТОННЫХ СТЕРЖНЕЙ

ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ СЖАТИИ

1. Первое предельное состояние по прочности

Первое предельное состояние трубобетонного стер­жня может наступить вследствие больших необратимых деформаций, разрушения или потери устойчивости.

Представим на рис.31 график продольных и попереч­ных деформаций на наружной поверхности трубы в за­висимости от осевой сжимающей силы. Отметим на оси абсцисс некоторое значение продольной относительной деформации е2-

Е2 = согЫ; Ег = ет,

(1) (2)

Превышение которого означает переход стержня в пер­вое предельное состояние по большим необратимым де­формациям. Этот подход соответствует тому случаю в трактовке Н. С. Стрелецкого, при котором «…предель­ная деформация является главенствующей, определяю­щей предельное состояние, а силовой фактор лишь под­бирается по предельной деформации. По существу, та­кой подход является более правильным. Эксплуатация заканчивается на некоторой деформации А, после кото­рой она становится невозможной по тем или другим тех­ническим или хозяйственным соображениям»[I].

Норму непредельности продольной деформации мож­но установить постоянной (1), не зависящей от прочност­ных характеристик стержня [71]. Тогда несущая способ­ность стержня Ф] будет характеризоваться силой Ри соответствующей «а рис.31 продольной деформации е2 = const:

Ф, = Pi— (3)

При этом одна и та же величина продольной дефор­мации может быть достигнута на разных этапах работы

Рис. 31. График для определения первого предельного состоя­ния трубобетонного стержня по прочности

Г — кривая продольных деформаций; 2—кривая поперечных деформаций

Стержня в зависимости от того, какие бетон и сталь при­менены для его изготовления. Например,’если применять высокопрочные стали, то при продольной относительной деформации 0,002 стержень будет работать около сере­дины упругой стадии и его несущая способность окажет­ся использованной не до конца. По этой причине жела­тельно иметь переменную величину предела продольной деформации [74], связав ее с развитием текучести в обо­лочке. Тогда условие непредельности стержня и его де­формаций будет иметь вид (2), а несущая способность стержня Ф2 будет характеризоваться силой соответ­ствующей на рис.31 продольной деформации б2 = ет:

Ф2 = Р2. (4)

Условие непредельности стержня можно установить и по развитию больших необратимых поперечных отно­сительных деформаций [26, 58]. приняв в качестве предельного состояния развитие текучести оболочки в поперечном направлении:

01 = От. (5)

Тогда условие непредельности стержня и его деформа­ций будет характеризоваться силой Р%, соответствующей на рис. 31 продольной деформации при 01 = 0Т:

Ф3 = Я». (6)

В табл. 4 и на рис. 32 представлены некоторые вари­анты трактовки предельных усилий в форме Р\, Р2 и Рз. Следует подчеркнуть существенную особенность опреде-

Таблица 4

ПРЕДЕЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ ДЛЯ ТРУБ, ЗАПОЛНЕННЫХ БЕТОНОМ РАЗЛИЧНЫХ МАРОК

Автор трактовки

Формула

Марка бетона

Р, тс пч’

Гвоздев А. А. [17]

Рз = Л»/?Пр + 2/^ От

200 300 400 500

209,5 233,2 257 280,5

Передерни Г. П. [63]

Рз = ^б КПР + + 2,2^согт

200 300 400 500

225,5 249,2 273 296,5

Росновский В. А. [71]

Рх = + + 180) ат

200 300 400 500

189 213 237 261

Маренин В. Ф., Рен — ский А. Б. [58]

Рз = Япр +

+ а °т

200 300 400 500

183,5 224,2 257 303,5

Долженко А. А. [26]

Рз = /=б Япр + + ах /’с от

200 300 400 500

200,5 234,2 260 285,5

Примечание. Расчет нагрузок проведен для труб диаметром 216Х ^ мм; /^=339 см2; Рс= 27 см2; ат =3000 кгс! см2; ц=0,08.

Ления усилий Ру и Р3, состоящую в том, что расчетные сопротивления бетона берутся без коэффициента одно­родности (&<1). В связи с этим на рис.32 приведены два графика предельных усилий в форме Р2, построен­ные по формуле (62) при &б=1 и Иб—0,7, из которых видно, что учет неоднородности бетона по величине рас­четного сопротивления значительно уменьшает предель­ные усилия.

150

Т

250

1 ^

Зоо

Юо н Куб, кг с/смг

Рис. 32. Предель­ные усилия тру — бобетонных стерж­ней по прочности при центральном сжатии в форме

Ри Р2, Ръ

1 — Ръ ПО [63], ?6 = 1;

2 — Рз по [26], кб=\:

3 — Р3 по [17], 6б=1;

4 — Р3 по [58], I;

5 — Рг по формуле (62), йб=1; 6 — Р, по [71], 7-Л по формуле (62), кб=0,1

Наконец, предельным можно полагать то состояние стержня, при котором он выдерживает наибольшую силу безотносительно к его деформациям. Тогда условие не­предельности стержня будет иметь вид

(7)

А несущая способность стержня будет характеризовать­ся силой Рц, соответствующей на рис.31 наибольшей ве­личине сжимающей силы Р^=РМикс’

= = Яиакс. (8)

Рассматривая рис.31, видим, что прочность трубобе — тонного стержня можно характеризовать четырьмя раз­личными силами в зависимости от того состояния стер­жня, которое принимается за предельное. Силы Р3 и Р4 мало отличаются по величине и, учитывая разнообразие размеров и материалов стержней, по-видимому, могут быть равны друг другу.

Найдем теоретическое значение /)4 = — Рмакс — Для это­го предположим известным условие прочности бетона для случая неравномерного всестороннего сжатия при непропорциональном загружении:

Ой = 1(оо), (9)

Где и сто — продольное и радиальное напряжение в бе­тонном ядре трубобетонного стержня. Интенсивность напряжений трубы примем

А1 = V °1 + + °3 — а1 а2 — °2 а3 — °3 • (10)

Где сгх — нормальное напряжение, перпендикулярное образующей и касательное к поверхности трубы (поперечное); а2—нормальное напряжение вдоль образующей

Трубы (продольное); 03—нормальное напряжение, перпендикулярное образующей и перпендикулярное поверхнос­ти трубы (радиальное).

Пренебрегая радиальными напряжениями и учиты­вая, что труба работает в условиях сложного загружения (растяжение-сжатие), получаем для продольных напря­жений трубы

Условие совместности деформаций ядра и трубы записываем с учетом отношения р, площадей попереч­ных сечений трубы /•’с и ядра /-"б:

2

°1 = — о0. (12)

И

Продольную силу, действующую на стержень в целом, найдем как сумму продольных сил ядра и трубы:

Я4 = сте^б + ас^с = •/7б(а6 + ца2). (13)

После соответствующих подстановок получим

Р4 = р6 [/ Ы + V V? — Зо20 — о0 |. (14)

Отыскиваем условие максимума функции Р4:

ИЛИ

4 2 / да1 \2 к 2 14 " ^

[1-ГЫ12

А Г 9

А°1[1-/'(*о)]2

(16)

+ 3


Таким образом, продольная сила Р4 по формуле (14) будет наибольшей не всегда, а только в том случае, ког­да удовлетворяется условие (16).

Аналитическое значение Рз можно получить из выра­жения (14), подставляя в него (12), при (71 = ат:

(17)

Если считать материал трубы имеющим протяжен­ную площадку текучести (т. е. <^ = 0Т), то из (11) следу­ет, что продольные напряжения в трубе отсутствуют, когда поперечные напряжения достигают предела теку­чести.

Общность структуры выражений (14).и (17) указы­вает, что при некоторых условиях не исключается сов­падение величин Р^ и Р3. Допустим, С1 = ат, тогда (16) приобретает вид

(18)

Но зависимость (18) соблюдается, если выражение в фи­гурных скобках равно 4; для этого необходимо, чтобы

(19)

Выполнимость этого условия зависит от закона (9) и от соотношения прочностных и геометрических характери- стнк трубы, и ядра. Предположим, что уравнение (9) ли­нейно относительно ог0:

Ко) = Ао0 + с. (20)

Для того чтобы выполнялось условие (19), ? должно быть равно 4. В этом случае Рз = Лиакс, т. е. предельному состоянию (5) соответствует наибольшая нагрузка на стержень. Если же кф\, то в момент наивысшей нагруз­ки труба не работает как обойма И "макс фР%. Послед­нее является основным случаем, ибо при объемном на­пряженном состоянии уравнение (20) весьма прибли­женно описывает в действительности нелинейный за­кон (9).

Экспериментальные данные [8, 153] о прочности гид­ростатически обжатого бетона, подтверждающие изло­женные выше теоретические положения, показывают су­щественную нелинейность зависимости (9) и особенно при небольших значениях а0. Поэтому, принимая любой нелинейный закон для (9), нельзя утверждать, что во всех случаях наибольшая нагрузка соответствует дости­жению поперечными напряжениями предела текучести. Следует отметить сложность теоретической оценки вели­чин сил, полученных экспериментально, при которых по­перечные напряжения оболочек достигают пределов те­кучести, так как современные теории пластичности позво­ляют оценивать напряженное состояние стали лишь при небольших значениях (е^О. ОЗ) интенсивности дефор­маций.

Наличие вариантов предельного состояния трубобе — тонных стержней по прочности при центральном сжатии является существенной особенностью их работы.

Из рассмотренных четырех вариантов первого пре­дельного состояния трубобетонного стержня по прочно­сти следует остановиться на втором, так как первый ва­риант не исключает неполное использование несущей способности стержня, а третий и четвертый игнорируют его большие необратимые деформации.

Выбор второго варианта особенно важен не только потому, что позволяет правильно, с позиций метода пре­дельных состояний, оценить величину несущей способ­ности трубобетонного стержня по прочности при цен­тральном сжатии, но и потому, что дает правильную :.ценку несущей способности гибких трубобетонных стержней по устойчивости в том же режиме загружения.

Практически такая оценка сводится к определению ко­эффициента продольного изгиба <р, который теоретиче­ски определяется как отношение

(21)

Пч

Ф = Я„Р: Р,


Где Р Кр— критическая сила центрально-сжатого стержня;

Рпч—сила, характеризующая прочность централь­но-сжатого стержня.

При одном и том же значении Ркр можно получить различные значения ср в зависимости от того, какой выб­ран вариант предельного состояния стержня по прочно­сти при центральном сжатии:

(22) (23-,

(24)

(25)

Р пч = Фи Рпч = Ф2;

Рпч = Ф3;

Рпч = Ф*.

До разработки и внедрения метода расчета конст­рукций по предельным состояниям не было понятия о предельном состоянии конструкции и существовала возможность произвольного выбора величины Рпч в пре­делах указанных выше четырех величин. С появлением метода предельных состояний предельная сила одно­значно определяется как Ф2. Используя литературные источники, следует иметь в виду это варьирование пре­дельных сил и делать выводы лишь после установления варианта, которым пользовался автор.

Коэффициент ф в выражении (21) зависит и от Лф, которое может быть найдено теоретическим путем, если имеется возможность оценить напряженное состояние трубы при работе ее в упругопластической стадии.

Известны зарубежные исследования последних лет [122—124, 127, 128, 135], в которых рассматривается в основном упругая стадия работы стальных труб, за­полненных бетоном, так как многие авторы считают не­возможным оценить напряженное состояние трубобетон- ного стержня при работе материала трубы за пределом пропорциональности [134, 149].

Используя теорию малых упругопластических дефор­маций, можно оценить напряженно-деформированное со­стояние оболочки и бетонного ядра и построить критиче­ские зависимости при работе материала оболочки за пре­делом упругости [109, 83].

В отечественных исследованиях для определения ус­тойчивости трубобетонных стержней при центральном сжатии нередко используется классическая теория ус­тойчивости (теория приведенно-модульной нагрузки) [13]. По данной теории, волокна лежащие на вогнутой стороне (при выпучивании), испытывают дополнительное сжатие с касательным модулем Е*; волокна, лежащие на выпуклой стороне, разгружаются с упругим моду­лем Е. Исследования, проводимые с использованием тео­рии двойного модуля, довольно сложны, особенно тогда, когда возникает необходимость интегрирования в связи со сложной формой поперечного сечения, в частности с круговой, характерной для трубобетонных стержней.

Нагрузка по приведенному модулю, основанная на классической теории устойчивости (раздвоение форм равновесия), относится к тем системам, на которые уже действуют заданные силы. Загружение реальных конст­рукций в соответствии со схемой системы, на которую уже действуют заданные силы, оказывается в большин­стве случаев невозможным. Практически заданное зна­чение нагрузки достигается в результате постепенного увеличения ее интенсивности. В этом отношении приве­денная модульная нагрузка принципиально отличается от критической силы, которая определяется в процессе испытания возрастающей нагрузкой. Обычно значения критических сил, полученных по теории двойного моду­ля, больше значений сил, найденных эксперименталь­но [15].

Исследовать устойчивость трубобетонных стержней можно, пользуясь более простой (в математическом от­ношении) теорией, в которой за критическую принима­ется касательно-модульная сила по Шенли [152].

В 1946—1947 гг. Ф. Р. Шенли доказал, что процесс монотонного отклонения центрально-загруженной стойки начинается уже при Р = Р*:

Где Р*—касательно-модульная нагрузка;

Е* — касательный модуль диаграммы «напряже­ние— деформация». По этой теории эффект разгрузки не учитывается, а принимается, что по всему сечению соотношение меж­ду приращениями напряжений и деформаций определя­ется касательным модулем. Касательно-модульная ипри — веденно-модульная нагрузки имеют вполне определенный физический смысл. При касательно-модульной нагрузке начинается выпучивание стержня. С выпуклой стороны постепенно увеличивается зона разгрузки. При приведен — но-модульной нагрузке перемещения стержня становят­ся неограниченными. Вполне очевидно, что касательно — модульная нагрузка меньше приведенно-модульной, так как при нагрузках, больших касательно-модульной, по­являются зоны разгрузки, что делает стержень более жестким. Различие между касательно-модульной и при­веденно-модульной нагрузками невелико, и выбор любой из них существенного влияния на результаты расчета не оказывает.

Найденные коэффициенты продольного изгиба тру — бобетонных стержней следует давать в виде ряда кривых Ф—% в зависимости от марок сталей и бетонов, сочета­ющихся в трубобетонных стержнях [74]. В прошлом предлагалась единая кривая [13, 26, 71, 85 и др.]

Следует уточнить понятие гибкости X. Чисто габарит­ное представление гибкости как отношения длины стерж­ня к его наружному диаметру надо заменить понятием приведенной гибкости, в которое войдут более широкая геометрическая характеристика поперечного сечения стержня и некоторые физические данные о прочности и жесткости материалов, из которых он изготовлен. Это теоретически строгое понятие гибкости выражается пуч­ком КрИВЫХ ф—К.

Учитывая изложенное, получаем новую методику рас­чета трубобетонных стержней по первому предельному состоянию по устойчивости, сохраняющую стандартную форму общепринятого метода, но применяемую для раз­личных сочетаний стали и бетона.

В упругой стадии продольные напряжения в оболоч­ке можно определить по обобщенной формуле закона Гука

Е

В* = :—————————— : (е2 + vsi). (27)

1 — vz

В упругопластической и пластической стадиях рабо­ты оболочки напряжения определяются с использовани­ем теории малых упругопластических деформаций. Эта теория, строго говоря, справедлива для случая простого загружения, когда все составляющие тензора деформа­ций изменяются пропорционально одному параметру. Однако можно полагать, что уравнения теории пластич­ности деформационного типа остаются достаточно точ­ными и тогда, когда загружение несколько отличается от пропорционального [44, 67]. Наибольшие расхождения с опытными данными обнаруживаются в тех случаях, когда в процессе нагружения поворачиваются главные оси. Такого поворота в трубобетонной оболочке не про­исходит. Труба работает в условиях сложного загруже­ния (сжатие-растяжение). При подобном характере за­гружения достаточно хорошо подтверждается [4] закон обобщенных кривых.

Выражения для интенсивности напряжений и дефор­маций в главных значениях имеют вид:

А. = Уа\ + <з\ + о§ — Oj а2 — ст2 ст3 — ст3 ст4 ; (28)

Е. =-§~V ei + е2 + ез — ei е2 — е28з — езе4- (29)

Величины ctї и eн связаны между собой зависимостью

Di = E’eЎ,

Где Е’—секущий модуль, определяемый на обобщенной кривой Oн—eн по обобщенной деформации.

Из (28), (29) для плоского напряженного состояния трубы:

А. = Уa’Ў -f а\— а2; (30)

2-, / 1 — v +v[II] Г 9 , / 3v \1

Для несжимаемого материала ^ = 0,5) в пластиче­ской стадии выражение (31) приобретает вид

TOC \o "1-3" \h \z ег= -^г уГв{ + е,22 + е1 е2 , (32)

Уз

Известно, что компоненты напряжений связаны с компо­нентами деформаций соотношениями:

61- 78 0 = 3/2Я'(01-5); (33)

Еа — V« 0 = 3/2?'(О2 —5); (34)

8з — ‘/в 0 == 3/2?'(0з — 5), (35)

Где

0 = — (61 + е2 + в3);

5 = ‘/в (01 + яг + а3). Для несжимаемого материала при плоском напря­женном состоянии оболочки из (33), (35) имеем:

82 = I7 (°2 ~ Т С1) ‘ ^

Ъ-М^-‘Т*)- (37)

Из (36), (37) находим продольные напряжения в обо­лочке:

= у?'(е*+ у6*) •

Обобщенная кривая считается универсальной для лю­бого напряженного состояния, поэтому ее можно опреде­лить по кривой одноосного напряженного состояния а—е, полученной испытаниями материала труб на растя­жение. Исправление условных диаграмм на истинные до деформаций порядка 3% не имеет практического зна­чения [116].

В случае одноосного напряженного состояния выра­жения для интенсивности деформаций и напряжений будут

В(=у(1-И)е; <г,=о, (39)

Где е— относительные деформации, получаемые при испытании материала трубы на растяжение. Из (39) видно, что при v = 0,5 диаграммы а, — е, и о — е совпадают. Следовательно, в пластической стадии

Секущий модуль можно определять, используя обыкно­венную диаграмму растяжения а — е.

Таким образом, с помощью теории малых упругопла — стических деформаций [34] можно определять напряже­ния в стальной трубе по формуле (38) с привлечением экспериментальных данных для е2 и еь Ряду исследова­телей, в частности [134, 149], эта задача представля­лась неразрешимой.

(40)

Зная продольные напряжения в стали, можно найти продольную силу, воспринимаемую оболочкой. Осталь­ная продольная сила воспринимается ядром, как это следует из физической структуры стержня:

Р = (Тб^б + СТс^7,

Из (40) вычисляются напряжения бетонного ядра на каждом этапе загружения:

Таким образом определяют напряжения в ядре и обо­лочке. Продольные относительные укорочения измеряют в процессе эксперимента. В совокупности получается ме­тодика, позволяющая находить зависимости а2— 62 и Об — ?2 во всем интервале загружения стержня как комплекса «ядро+оболочка».

Эти зависимости оказываются необходимыми для рассмотрения работы длинных. (Ь:й>5) центрально — сжатых стержней, предельное состояние которых харак­теризуется продольным изгибом.

Явление продольного изгиба (или потери устойчиво­сти первого рода) возникает вследствие достижения стержнем критического состояния. Для теоретического определения критических сил по (26) необходимо знать зависимость касательного модуля от напряжения, т. е. диаграмму работы материала а — е. В трубобетонном стержне работают совместно два материала; следова­тельно, необходимо иметь диаграммы а2— г2 и Стб — г2.

Касательные модули продольных деформаций обо­лочки ?* и ядра Е*б определяются дифференцированием соответствующих кривых а=Кг2):

(42)

,» ?Об

Дифференцирование кривых основано на методе наи­меньших квадратов (50). Соответствующая производная вычисляется по формуле

А=к

2 а/ (е2 + аЛе2)

2 ? а2Дв2 а=1

Рис. 33. Зависимости критиче­ских напряжений от относитель­ной длины стержня для цент­рально-сжатых труб 1 — для труб 0 90X4 мм с бетоном, =250 кгс/см2; 2 — для труб 0 140Х Х5 мм с бетоном, =450 кгс/см2; 3 —для пустых труб 0 102X2 мм-, 4—для труб 0 102X2 мм с бето­ном, Яд -350 кгс/см2; 5 — для труб 0 108X4 мм с бетоном, Яд— =350 кгс/см1

Учитывая по два интервала (к=2) с каждой стороны от точки дифференцирования, получим рабочую формулу Е* = — 2/ (е2—2Аег) -/ (в, — Дег) + [ (в2+Лег)+2/ (е2+2Ав,)

ЮЛег ‘ ( ‘

В соответствии с (26) критическая сила определяет­ся по формуле

_ (46)

Критическую силу записываем также с помощью на­пряжений, развивающихся в упомянутых частях стерж­ня перед потерей им устойчивости:

Ркр-°?Рб+°сРрс — (47)

Из совместного решения (46) и (47) получаем исход­ную зависимость для построения кривых «критическая сила — относительная длина стержня»:

I Г Е’6+2Е’с11

— = 0,785 1 / ———————————— . (48)

0 у °кбр+кр

На рис. 33 представлены критические зависимости этого рода, причем критическая сила (в кгс) взята в мае — штабе площади поперечного сечения стержня (в см2). На рисунке на примере кривых 2 и 3 можно видеть, как сильно увеличивает бетонное ядро несущую способность стержня в первом предельном состоянии по устойчиво­сти при центральном сжатии. Наконец, можно видеть и недостаток определения критической силы с помощью относительной длины стержня Ь : й.



.